在日常的学习、工作、生活中，肯定对各类范文都很熟悉吧。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？接下来小编就给大家介绍一下优秀的范文该怎么写，我们一起来看一看吧。

证明闭区间上连续函数必可积篇一

§1. 关于实数的基本定理

一 子列 定义1 在数列 embed 4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 embed 4 的子列，记为 embed 4 。 子列的极限和原数列的'极限的关系

定理1 embed 4 若 embed 4 ，则 embed 4 的任何子列 embed 4 都收敛，并且它的极限也等于 embed 4 。

注：该定理可用来判别 embed 4 不收敛。 例：证明 embed 4 不收敛。

推论：若对任何 embed 4 ： embed 4 都有 embed 4 收敛，则 embed 4 在 embed 4 的极限存在。

二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义

定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。

定理3 单调有界数列必收敛.

三 区间套定理 区间套: 设 embed 4 是一闭区间序列. 若满足条件

ⅰ> 对 embed 4 , 有 embed 4 embed 4 embed 4 ;

ⅱ> embed 4 embed 4 .

则称该闭区间序列为为区间套 .

注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.( 都不是).

例： embed 4 和 embed 4 都是区间套.但 embed 4

定理4设 embed 4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 embed 4 属于所有的区间。

注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。

四 致密性定理

定理5 任一有界数列必有收敛子列。

推论 若 embed 4 是一个无界数列，则存在子列 embed 4 。

五 cauchy收敛原理

定理6 数列 embed 4 收敛 embed 4 embed 4 当 embed 4 时，有 embed 4 。

注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。

例：设 embed 4 ，证明 embed 4 发散。

例：设 embed 4 ，证明 embed 4 收敛。

六 有限覆盖定理 复盖: 先介绍区间族 embed 4 .

定义 (复盖 )：设 embed 4 是一个数集, embed 4 是区间族.若对 embed 4 使得 embed 4 , 则称区间族 embed 4 复盖了 embed 4 , 或称区间族 embed 4 是数集 embed 4 的一个复盖. 记为 embed 4 若每个 embed 4 都是开区间，则称区间族 embed 4 是开区间族.开区间族常记为 embed 4 .

定义 (开复盖 )：数集 embed 4 的一个开区间族复盖称为 embed 4 的一个开复盖,简称为 embed 4 的一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.

例： embed 4 复盖了区间 embed 4 , 但不能复盖 embed 4 。

定理7 闭区间 embed 4 的任一开复盖必有有限子复盖。

注：在定理的条件中，若 embed 4 不是开区间集，或 embed 4 为非闭区间，则从 embed 4 中就不一定能选出有限个区间来覆盖。

§2闭区间上连续函数性质的证明

一 有界性定理 定理1 闭区间 embed 4 上的连续函数必定有界。

注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。

二 最大值和最小值定理 定理2 闭区间 embed 4 上的连续函数必定有最大值和最小值。

三 零点存在定理 定理3 embed 4 在闭区间 embed 4 连续，且 embed 4 ，则 embed 4 在 embed 4 内至少有一个根。

证法一(用区间套定理); 证法二(用确界原理); 证法三 (用有限复盖定理)。

四 一致连续性定理 定理4 闭区间 embed 4 上的连续函数 embed 4 必定一致连续。

证法一 (用区间套定理); 证法二 (用致密性定理)。

武夷学院经济与数学系 《数学分析》 授课教案